역제곱의 법칙, ‘재미’를 찾는 나와 사건의 거리 [이광식의 천문학+]
재미란 무엇인가.
우리가 일상생활 속에서 자주 쓰는 말 ‘재미’는 원래 ‘양분이 많고 좋은 맛’이라는 한자어 ‘자미’(滋味)에서 온 것이다. 국어사전에서 찾아보면 ‘아기자기하게 즐거운 기분이나 느낌’이라고 풀이한다. 하지만 재미는 이처럼 단순한 개념이 아니다.
부연하자면, 재미란 어떠한 것에 대한 흥미이고 그것에 관한 일종의 만족감이자, 마음이 편한 기쁨, 즐거움, 떠들썩한 유쾌함 등으로 정의된다. 이런 재미는 사람의 수많은 육체적-정신적 활동에서 비롯된다.
인류는 본능적으로 재미를 추구해왔다. 춤과 노래, 축제와 게임 등이 그 대표적인 목록들이다. 이러한 성향을 유희정신이라고 하는데, 이처럼 뛰고, 소리치고, 노는 유희정신은 어린아이들의 행동에서 가장 선명하게 드러난다.
아이들에게 재미는 놀이와 밀접한 관련이 있으며, 자연스럽고 창의적인 방식으로 재미를 추출하는 능력이 뛰어나다. 놀이는 즐거움을 누릴 수 있는 능력, 즉 잠시만이라도 무한히 즐길 수 있는 능력과 관련된다.
독일의 시인 프리드리히 실러는 “인간은 놀이를 즐기고 있을 때만이 완전한 인간이 된다”고 말했다. 이렇게 유희는 인간 활동에서 커다란 부분을 차지하며, 인간의 가장 기본적 ·정신적 요소의 하나인 것이다.
재미는 또한 사람들의 긴장을 푸는 데 도움이 되고 삶의 보람을 주기 때문에 때때로 ‘인생의 즐거움을 더하고’, ‘스트레스에 대한 완충 역할’을 하는 윤활유로 간주되며, 인간의 육체적-심리적 상태를 개선하는 데 큰 영향을 끼치기도 한다.
이 정도면 재미가 우리 삶에서 얼마나 중요한 요소인가를 알 수 있을 것이다. 우리가 추구하는 행복의 속고갱이가 바로 다름 아닌 재미라 할 수 있다. 그래서 일찍이 장자(BC 369-286)는 “인생은 한바탕 신명나게 잘 놀다 가는 놀이터”라고 ‘소요유(逍遙游)’편에서 설파했다.
근엄한 유교문화 속에서 오래 몸담고 살아온 우리는 자칫 이 재미란 항목을 가벼이 취급하는 경향이 있는데, 이는 바람직한 태도라 하기 어렵다. 사람에게 행하는 어떤 교육도 재미가 없으면 임팩트가 없고 따라서 입력이 잘 안된다. 재미가 있을 때에야 비로소 사람은 그것을 잘 받아들이고 임팩트를 느끼며 자신을 변화시킬 수 있는 것이다.
그러니 재미가 없는 영화, 재미없는 소설은 만들 것이 못되며 재미없는 강의나 수업은 하지 말아야 한다.
재미있는 수학은 수포자를 줄일까그러면 어떤 요소가 사람을 재미있게 하는 것일까.
사람들이 재미를 느끼는 요소들을 들자면, 극적인 변화, 통찰과 개안(開眼)을 주는 것, 상상을 벗어난 것, 놀라운 반전 같은 것을 들 수 있다.
재미는 또한 하나의 중요한 속성을 갖고 있는데 그것은 바로 역제곱 법칙이라는 것이다. 이 역제곱 법칙은 특정 물리량에 해당되는 정보가 보존되면서, 그 원인으로부터 정보가 3차원 공간을 퍼져나갈 때 만족하는 법칙이다. 예컨대 촛불을 2배 먼 거리에서 보면 그 밝기는 4분의1로 줄어든다.
뉴턴의 만유인력 법칙이 대표적인 역제곱 법칙의 하나인데, 두 물체 m1, m2 사이에 작용하는 인력은 두 물체 사이 거리의 역제곱에 비례한다는 것이다. 재미 삼아 공식을 내려놓으면 다음과 같다.
재미의 역제곱 법칙은 중력의 법칙처럼 ‘나’와 ‘사건’ 사이 거리의 역제곱에 비례한다.
쉬운 예를 들어보자. 외신에 이런 뉴스가 떴다.
‘미국 앨라배마주의 흑인대학으로 알려진 터스키기 대학에서 10일 새벽(현지시간) 총격 사건이 발생해 1명이 숨지고 16명이 다쳤다고 AP 통신 등 미국 언론이 당국을 인용해 보도했다.
일상사처럼 반복되는 미국의 총기 사건이 우리에게 어떤 관심을 불러일으킬까? 우리와는 지구 반대편에 있는 총기의 나라 미국에서 툭하면 벌어지는 사건이니 으레 그러려니 하고 넘어가는 게 대부분의 반응일 것이다.
하지만 만약 내가 사는 아파트 같은 동에서 살인사건이 일어났다면 누구나 신경을 곤두세우고 관심을 쏟을 것이 분명하다. 재미의 역제곱 법칙도 이와 다를 것이 없다. 어떤 사건이 나와 가깝고 때로는 직결된 것이라면 관심을 기울이지 않을 수 없다. 자기의 손익과 밀접한 관계가 있기 때문이다. 사람은 누구나 자기의 손익에는 민감하게 마련이니까.
따라서 우리가 사람들에게 무언가를 전하려 할 때는 그 ‘사건’이 그들과 밀접한 관계를 가지고 있는 지점을 적극 공략해야 한다. 이 지점을 놓쳐버리면 영화든 소설이든 강의든 성공하기 힘들다.
고3 교실의 3분의2는 수학을 포기한 학생, ‘수포자’라고 한다. 이것은 꼭 수학이 어려운 과목이기 때문만이라고는 할 수 없다. 인류 최고의 천재로 게임 이론을 창시한 미국의 물리학자이자 수학자인 폰 노이만은 “수학을 어렵다고 생각하는 사람들은 인생이 얼마나 어려운지를 잘 모르는 사람이다”라는 명언을 남기기도 했다.
아이들을 수포자로 만든 더 큰 원인은 수학 교사가 이들이 ‘수학 하는 재미’를 느끼게 하지 못했다는 사실이 아닐까 생각한다. 아이들이 ‘이 어렵기만 한 수학이 대체 내 삶과 무슨 관계가 있다는 건가?’ 하고 생각하게 되면 수학은 재미없는 과목으로 전락한다.
그렇다면 수학을 어떻게 가르치는 것이 좋을까? 그 교실로 기원전 3세기 고대 그리스의 수학자이자 천문학자인 아리스타르코스(BC 310쯤~230)를 수학 교사로 초빙하는 것이 좋은 방법일 것이다.
지금으로부터 무려 2300년 전 고대인인 아리스타르코스는 인류 역사상 최초로 지동설을 발견한 사람이다. 그가 지동설을 세운 것은 오로지 직각삼각형 하나를 이용한 수학의 삼각법이었다.
어느 날 해질녘 아리스타르코스는 중천에 뜬 반달을 보았다. 그 시각 해는 지평선에 걸려 있었고, 달은 정확히 반달이었다. 그 순간 번개 같은 아이디어가 그의 머리에 반짝 불을 켰다. “아! 저 달과 지구-태양이 이루는 각은 직각이고, 세 천제는 지금 직각삼각형을 만들고 있구나!”
아리스타르코스의 천재성은 여기서 멈추지 않았다. 그는 이 직각삼각형의 한 예각을 알 수 있으면 삼각법을 사용하여 세 변의 상대적 길이를 계산해낼 수 있다고 생각했다.
그는 먼저 달-지구-태양이 이루는 각도를 쟀다. 87도가 나왔다(참값은 89.5도). 세 각을 알면 세 변의 상대적 길이는 삼각법으로 금방 구해진다. 그런데 희한하게도 달과 태양은 겉보기 크기가 거의 같다. 이는 곧, 달과 태양의 거리 비례가 바로 크기의 비례가 된다는 뜻이다.
아리스타르코스는 이 점에 착안하여, 다음과 같이 세 천체의 상대적 크기를 또 구했다. 태양은 달보다 19배 먼 거리에 있으며(참값은 400배), 지름 또한 19배 크다(참값은 400배). 고로 달의 3배인 지구보다는 7배 크다(참값은 109배). 따라서 태양의 부피는 7의 세제곱으로 지구의 약 300배에 달한다고 결론지었다. 그의 수학은 정확했지만 도구가 좀 부실했던 모양이다.
하지만 본질적인 핵심은 놓치지 않았다.
“지구보다 300배나 큰 태양이 지구 둘레를 돈다는 것은 모순이다. 태양이 우주의 중심에 자리하고 있으며, 지구가 스스로 하루에 한 번 자전하며 1년에 한 번 태양 둘레를 돌 것이다.”
우주의 중심에서 인류의 위치를 몰아낸 지동설은 이렇게 한 천재의 기하학으로부터 탄생했다. 따지고 보면 직각삼각형 하나가 인류에게 지동설을 알려준 것이라고도 할 수 있다. 이것이 바로 수학의 위력이자 매력이 아닌가!
수학 개념으로 발견한 우주의 원리천문학사에는 이런 예가 수두룩하지만, 하나만 더 들어보자면 아리스타르코스보다 약 한 세대 뒤에 태어난 에라토스테네스의 예가 또 쏠쏠하게 재미있다.
역시 천문학자이자 수학자인 에라토스테네스(BC 276~194)는 역사상 최초로 한 천체의 크기를 측정한 위대한 업적을 남겼다. 그가 잰 천체는 물론 지구였다.
에라토스테네스는 터무니없이 간단한 방법으로 인류 최초로 지구 크기를 쟀는데, 참값에 비해 10% 오차밖에 나지 않은 놀라운 성과를 얻었다. 그가 이용한 방법은 작대기 하나를 땅에다 꽂는 거였다. 해의 그림자를 이용한 측정법이었다.
구체적으로는 이 역시 기하학을 이용한 건데, 어느 날 도서관에서 책을 뒤적거리다가 ‘남쪽의 시에네 지방(아스완)에서는 하짓날인 6월 21일 정오가 되면 깊은 우물 속 물에 해가 비치어 보인다’는 문장을 읽었다. 이것은 그날 해가 그 지역에서 바로 수직으로 떠 있다는 것을 뜻한다.
그리스인들은 지역에 따라 북극성의 높이가 다른 사실 등을 근거로 지구가 공처럼 둥글다는 것을 알고 있었다. 구체인 지구의 자전축은 궤도 평면상에서 23.5도 기울어져 있다. 하짓날 시에네 지방에 해가 수직으로 꽂힌다는 것은 곧 시에네의 위도가 23.5도란 뜻이다. 이 지점이 바로 북회귀선, 곧 하지선이 지나는 지역이다. 여기서 천재의 발상법이 나온다.
그는 실제로 6월 21일을 기다렸다가 막대기를 수직으로 세워보았다. 하지만 시에네와는 달리 알렉산드리아에서는 막대 그림자가 생겼다. 그는 여기서 이는 지구 표면이 평평하지 않고 곡면이기 때문이라는 점을 깨달았다.
그리하여 에라토스테네스가 파피루스 위에다 지구를 나타내는 원 하나를 컴퍼스로 그리던 그 순간, 엄청난 일이 일어났다. 이것은 수학적 개념이 정확한 관측과 결합됐을 때 얼마나 큰 위력을 발휘하는가를 확인해주는 수많은 사례 중의 하나다.
에라토스테네스가 그림자 각도를 재어보니 7.2도였다. 햇빛은 워낙 먼 곳에서 오기 때문에 두 곳의 햇빛이 평행하다고 보고, 엇각과 동위각은 서로 같다는 원리를 적용하면, 이는 곧 시에네와 알렉산드리아 사이의 거리가 지구 대원(大圓)의 7.2도 원호라는 뜻이 된다.
에라토스테네스는 걸음꾼을 시켜 두 지점 사이의 거리를 걸음으로 재본 결과 약 925㎞라는 값을 얻었다. 그 다음 계산은 간단하다. 여기에 곱하기 360/7.2 하면 답은 약 4만 6250이라는 수치가 나오고, 이는 실제 지구 둘레 4만㎞에 10% 미만의 오차밖에 안 나는 것이다.
이로써 인류는 우리가 사는 행성의 크기를 최초로 알게 되었고, 이를 아리스타르코스의 태양과 달까지 상대적 거리에 대입시켜 비록 큰 오차가 나는 것이긴 하지만 그 실제 거리를 알게 된 것이다.
2300년 전 고대에 막대기 하나와 각도기, 사람의 걸음으로 이처럼 정확한 지구의 크기를 알아낸 에라토스테네스야말로 위대한 지성이라 하지 않을 수 없다. 그는 또 수학사에도 이름을 남겼는데, 소수(素數)를 걸러내는 ‘에라토스테네스의 체’를 고안해낸 수학자이기도 하다.
아리스타르코스나 에라토스테네스와 같이 학생들에게 수학을 가르친다면 누가 수학을 재미없는 과목이라 하겠는가. 수포자는커녕 수학의 위대한 매력에 푹 빠져들 것이다.
우리에게 눈이 두 개 있는 것은 그 시차(視差)로 나와 사물 간의 거리를 어림할 수 있게 하기 위함이다. 지금이라도 한쪽 눈을 감고 길을 걸어본다면 무척 갑갑함을 느낄 것이다. 수학을 모르고 세상을 사는 것은 어쩌면 이렇게 외눈박이로 사는 것과 비슷하다고 할 수 있다. 이처럼 수학이 바로 나의 삶과 밀접한 관련이 있음을 학생들에게 주지시켜야 한다. 그러면 분명 수학에 큰 관심을 갖게 될 것이다.
아울러 무엇을 강의하거나 수업하든 교사는 항상 ‘나와 사건의 거리’에 초점을 맞추어야 한다. 그 지점을 놓쳐버리면 ‘재미’를 생산하기 힘들며, 학생들을 사로잡기 어려울 것이다.
나아가 교사는 자신의 지식을 학생들에게 전하는 데 있어 가장 재미있는 방법에 대해 항상 연구하고 고민하는 자세를 가져야 한다. 무엇보다 스스로 그 일을 즐겁고 재미있게 받아들여야 한다. 자신이 재미있어 하는 것을 가르치는 사람과 별 흥미를 느끼지 못한 채 가르치는 사람은 그 표정부터가 다르다는 사실을 피교육자는 민감하게 감지한다. 가르치는 사람의 열정이 상대에게 전해지고 그들을 변화시킨다는 사실을 깊이 새길 필요가 있다.
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