해외 고교생을 절망시킨 수학 문제 화제
스코틀랜드 대입준비 과정에 있는 중등 6학년 학생들(16~17세)을 망연자실하게 만든 수학 문제가 온라인상에 공개돼 화제가 되고 있다. 이 문제의 난해함은 지난 5월 치러진 고등수학(Higher Maths) 시험의 합격선을 떨어뜨릴 정도였다고 한다. 이에 대해 스코틀랜드 자격검정 당국(SQA)은 “전체 시험의 난이도에 의한 것이며, 개별 문제가 원인이 아니다”고 발표했었다. 지나치게 높은 난도로 지난 5월 시험을 망친 스코틀랜드 학생들은 ‘시험이 부당하다’는 청원서를 소셜미디어를 통해 게시했다. 청원서 2장에 약 1만 4,000명이 서명했다. 참고로 올해 합격점 즉 학생 성적이 C가 되는 커트라인은 지난해 45%였던 것에 비해 34%까지 떨어졌다.
다음은 영국 BBC뉴스 등 현지언론에 소개된 실제 해당 문제다.
다음은 해당 문제를 직역한 것.
악어 한 마리가 20m 거리에 있는 상류 강 건너편에 있는 먹이 얼룩말에 슬그머니 접근하려 한다.
악어의 이동 속도는 지상과 수중에서 다르다. 그림에 표시된 χ m 상류에 있는 건너편 언덕 P지점을 향해 악어가 헤엄칠 경우 먹이에 도달할 때까지의 이동 시간은 최소가 된다.
소요 시간은 그림에 나온 공식으로 구할 수 있다.
문제 A-1. 악어가 지상으로 이동하지 않을 경우 소요 시간을 계산하라. 문제 A-2. 악어가 최단 거리를 헤엄쳐갈 경우 소요 시간을 계산하라.
문제 B. 최단 소요 시간을 계산하고 그때 x 값을 구하라.
수학이라는 말만으로 알레르기 반응이 일어나는 나와 같이 평범한 사람들은 다음 동영상을 참고하기 바란다.
이 영상은 해당 문제를 차근차근 해설하고 있다.
다음은 해설을 우리말로 옮긴 것. 어느 정도 수학 지식이 있어야만 이해할 수 있을 것 같다. 1:15 이제 답을 설명한다. 1:30 그럼 문제 A-1은 악어가 지상을 이동하지 않았을 때의 소요 시간을 계산하라다. 1:40 이는 악어가 물속으로만 이동한다는 것이다. 1:50 즉 P는 얼룩말의 장소가 x = 20이 된다. 1:55 공식에 20을 대입해 계산하면 T = 104, 소요 시간은 약 10.4초이다. 2:08 문제 A-2는 악어가 최단 거리를 헤엄칠 때의 소요 시간을 계산하라이다. 2:15 이해하기 어려울 수 있지만, 요컨대 바로 건너편으로 수영하라는 것이다. 2:35 그래서 남은 지상 이동 거리는 20m라는 것. 2:40 이 경우 x = 0이다. 소요 시간은 11.0 초이다. 2:58 문제 B를 풀려면 시간을 미분계수를 사용해 0으로 만든다. 3:13 연쇄법칙을 기억해 계산하면 결국 x = 8, T = 98이 얻어진다. 3:35 이것이 아마 출제자가 상정한 해답이지만, 더 좋은 방법이 있다. 3:47 먼저 문제를 리버스 엔지니어링(Reverse Engineering)하자. 문제의 공식 의미를 모르겠지만, 상류를 향해 이동한다면 거리는 20-x인 것이다. 4:15 이것은 문제의 공식 후반부에 등장한다. 여기에 4를 곱하는 것은 악어 속도를 나타낸 것이기 때문이다. 여기에서 악어의 지상 속도는 4분의 1m/s로 짐작할 수 있다. 4:30 마찬가지로 공식의 전반 부분에 있는 5가 수중에서의 속도를 나타내고 있는 것이다. 4:40 √36 + x2는 빗변이 이것을 필요로 하고 있으므로, 악어의 수중 이동거리와 상류로 이동한 부분에 직각삼각형이 있다. √36 + x2이기 위해서는 건너편 언덕까지의 거리가 6이라고 짐작할 수 있다. 5:05 물리학을 응용해 이 리버스엔지니어링의 의미를 설명하자. 5:16 악어가 이동하는 수중과 지상의 경로는 빛이 두 가지 매개 속을 이동하는 것으로 파악할 수 있다. 광속 이동하는 매개에 의해 진행 속도는 다르다. 5:45 여기에 직각삼각형을 그리며 물과 육지를 나눌 장소를 각각 각도 θ1과 각도 θ2라고 한다. 5:58 이런 각도 사이의 관계를 알면 스넬의 법칙이 도움이 된다. sin (θ1) / sin (θ2)는 항상 2개의 매개 속도의 비 v1 / v2와 같다. 여기에서의 속도는 지상 속도와 수중 속도를 사용한다. 6:30 이 경우 θ2는 90도이다. 지상에 도달하면 나머지는 직선이기 때문에 sin (θ1) = v1 / v2가 얻어진다. 6:40 수중 속도는 1/5, 지상 속도는 1/4, 따라서 sin (θ1) = (1/5) / (1/4) = 4 / 5이다. 6:50 각도의 sin이 4/5가 되는 것은 3-4-5 직각삼각형에서 밖에 있을 수 없다. 그림에서는 최소 6이므로 빗변은 10, 나머지는 8이다. 7:16 x = 8이어야만 하므로, 이것을 문제의 공식에 대입하면 소요 시간은 9.8초이다.
윤태희 기자 th20022@seoul.co.kr