[이광식의 천문학+] 우주가 편평하다는 건 무슨 뜻일까?
편평한 공간이란?
우주는 편평하다. 공간이 편평하다니? 3차원이 편평하다는 것은 대체 무슨 뜻일까? 우리 감각은 3차원이 편평한 것을 느낄 수가 없다. 그러나 수학을 이용하면 공간이 굽어 있는지 편평한지를 알 수 있다. 그것을 한번 알아보도록 하자.
먼저 우리가 해야 할 일은 편평하다는 게 어떤 건지를 정의해야 하는 것이다. 2차원 평면에서 생각해본다면 편평하다는 것은 굴곡없이 고르다는 뜻이다. 그러나 같은 2차원이라도 지구와 같은 구면에 대해서는 수학적으로 서술할 수 있는 방법이 필요하다.
이 구면에 대한 기하학이 이른바 비유클리드 기하학이다. 우주의 구조를 이해하는 데도 비유클리드 기하학의 도움이 필수적이다. 비유클리드 기하학의 출발점은 유클리드 기하학의 제5공리인 평행선 공리였다. 다음과 같다,
“한 직선이 두 직선과 교차하면서 생기는 내각의 합이 180도보다 작을 때, 두 직선을 계속 연장하면 두 각의 합이 작은 쪽에서 만난다.”
이처럼 유클리드 기하학에서는 직선 밖의 한 점을 지나 그 직선과 만나지 않는 직선은 하나밖에 없으며, 평행선은 아무리 연장하여도 만나지 않는다고 가정하고 있다. 비유클리드 기하학은 19세기에 들어서 형태를 갖추었는데, 여기서는 평면상의 두 직선은 모두 만나며, 직선 밖의 한 점을 지나고 그 직선과 만나지 않는 직선을 그을 수는 없다고 가정하는 곡면의 기하학을 만들었다.
유클리드 기하학이 ‘평면 위의 기하학’인 데 비해, 비유클리드 기하학의 ‘곡면 위의 기하학’이라 불린다. 유클리드의 평면은 곡률이 0이다. 구는 모든 지점에서 곡률이 같으며, 구의 두 대원은 유클리드 공리가 요구하는 한 점이 아니라 두 점에서 서로 만난다. 지구의 적도와 양극을 지나는 대원을 상상하며 이해하기 쉽다. 적도에서 정북으로 향한 두 평행선을 출발시키면 두 직선은 북극점에서 만난다.
구의 곡률이 양인 데 반해 음의 곡률도 있다. 예컨대, 말안장 같은 곡면은 음의 곡률이다. 곡률의 음, 양을 판단하는 기준은 그 면에 그려지는 삼각형 내각의 합이다.
내각의 합이 180도보다 크면 양의 곡률, 180도보다 작으면 음의 곡률이다. 지구의 표면에 삼각형을 그려보면 내각의 합이 180도보다 크게 나온다. 지구가 양의 곡률을 가진 구면이기 때문이다. 이에 비해 말안장 위에다 삼각형을 그리고 내각의 합을 구해보면 180도보다 작게 나온다. 바로 음의 곡률임을 알 수 있다. 지구의 안쪽은 말안장처럼 휘어져 있다. 이 면 위에서는 평행으로 출발한 두 직선이 서로 무한히 멀어진다. 이를 수학에서는 쌍곡선이라 한다.
현재 우리가 살고 있는 우주공간은 비유클리드 공간이다. 2차원의 면이 굽어 있음을 우리가 알 수 있는 것은 우리가 3차원적 존재로 여분의 차원을 넣어 그것을 굽힐 수 있기 때문이다. 그러나 3차원 공간은 굽힐 수가 없다. 여분의 차원을 위한 공간이 더 이상 없기 때문이다. 그런 면에서 우리는 구면 위를 기어가는 개미와 비슷하다. 개미는 자신이 기어가고 있는 구면이 굽어 있는지를 알 수가 없다. 그 표면을 벗어날 수 없기 때문이다. 3차원 공간이 휘어 있는지 알 수 없다는 점에서 우리는 인간 개미라고도 할 수 있다.
2차원에서 사는 사람(절대로 3차원으로 못 나옴)이 자신이 사는 평면의 성질을 알고자 한다면 그 위에 삼각형을 그리고 각도를 더해보면 알 수 있다. 기하학의 위력이다.
빛은 우주공간의 본질을 밝혀주는 지표
3차원 공간이 굽었는지를 알려면 무슨 방법이 있을까? 가장 간단한 방법은 직접 4차원 이상의 공간으로 나가 살펴보는 것이다. 그러나 3차원에 사는 인간으로서는 불가능한 일이다. 따라서 우리는 다시 수학의 힘을 빌지 않으면 안된다. 2차원 평면에서 삼각형을 썼듯이 3차원에서는 직진하는 빛을 사용하면 된다.
그런데 직선이란 두 점을 연결하는 최단거리이지만, 이 정의는 평면 위나 굽지 않은 3차원 공간에만 적용된다. 구면 위에서 두 점 사이의 최단 거리는 두 점을 지나는 대원(大圓; 두 점과 구의 중심을 지나는 면이 구면 위에 그리는 큰 원)의 일부다. 일반적으로 공간의 두 점 사이 최단 거리를 측지선이라 하고, 빛은 이 측지선을 따라 진행한다. 따라서 3차원 공간이 굽었는가의 여부를 판단할 수 있는 방법 중 하나는 빛이 직선으로 나아가는지를 살펴보는 것이다.
일반적으로 빛은 최단 경로, 곧 가장 빠른 길을 따라 진행하는 성질이 있다. 이를 페르마가 발견하여 페르마의 원리, 또는 최단시간의 원리라 불린다. 반사나 굴절도 모두 이 원리로 풀이된다. 그런데 일반상대성 이론에 따르면 빛이 중력장을 지날 때는 이 원리가 성립되지 않는다.
아인슈타인은 빛의 경로가 직선이 아니고 휘어진다면 곧 공간이 휘어져 있기 때문이라고 보았다. 빛의 경로는 공간의 성질을 드러내준다. 그래서 아인슈타인은 ‘오직 빛만이 우주공간의 본질을 밝혀주는 지표’라고 말했다.
물질이 우주 구조를 결정한다우주의 구조는 그 안에 물질이 얼마나 담겨 있느냐에 따라 결정된다. 일반상대성 이론에 따르면 질량은 공간을 휘게 한다. 우주에 담긴 질량이 임계밀도보다 크다면, 우주공간 자체가 안으로 짜부라들 수 있다. 그러면 빛은 한없이 직진하는 게 아니라, 결국은 굽은 공간 때문에 휘어서 돌아오게 된다. 이것이 닫힌 우주다. 반대로, 우주 전체의 질량밀도가 충분히 크지 않다면, 우주의 곡률은 전체 우주를 짜부라들게 할 정도로는 크지 못할 것이며, 그러한 상황은 경계가 없는 무한 우주를 만들어갈 것이다. 이것을 열린 우주라 한다.
또 다른 가능성으로는, 만약 우주의 물질이 임계밀도(1m^3당 수소 원자 10개)와 균형을 이룬다면, 우주는 평탄한 상태를 유지하며 영원히 팽창할 것이다. 우주공간에서 과연 빛은 직진하는가? 이에 대해 과학자들은 138억 년 동안 우주를 여행한 가장 오래된 빛인 우주배경복사를 면밀히 측정해본 결과, 하나의 결론을 얻기에 이르렀는데, 우주는 거의 평탄하다는 것이다. 우주는 가속 팽창하지만, 기하학적으로는 편평한 우주다. 우주 전체의 물질-에너지 밀도가 임계밀도와 정확히 같다는 말이다.
그러나 우주에 존재하는 질량이 공간을 휘어지게 만들고, 그래서 우주 전체로 볼 때 우주는 그 자체로 완전히 휘어져 들어오는 닫힌 시스템이다. 따라서 우주는 유한하지만, 안팎이 따로 없으며, 경계나 끝도 없고, 가장자리나 중심도 따로 없는 구조를 하고 있다. 따라서 한 방향으로 똑바로 무한히 나아간다면 이윽고 출발한 지점으로 돌아오게 된다. 그러나 우주가 너무나 거대한 규모로 휘어져 있어, 한 940억 광년 거리를 달려야만 원래의 곳으로 되돌아올 수 있다고 한다.
우주의 나이 138억 년을 훨씬 넘어서는 시공간이다. 게다가 이 순간에도 우주는 빛의 속도로 팽창하고 있다. 그러니 원래의 출발점으로 돌아온다는것은 거의 불가능한 일일 것이다. 요컨대, 우주는 변하고 있다. 오늘 우리가 사는 우주는 내일의 우주가 아니다.
이광식 칼럼니스트 joand999@naver.com
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